Question

【题目】阅读下列材料：

材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为(a，b)，如(12，18)=6；(7，9)=1．

材料二：求7x+3y=11的一组整数解，主要分为三个步骤：

第一步，用x表示y，得y；

第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1=3(4﹣3x)+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x=2；

第三步，将x=2代入y，得y=﹣1．∴是原方程的一组整数解．

材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c均为整数)有整数解，则它的所有整数解为(t为整数)．

利用以上材料，解决下列问题：

（1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一组整数解；

（2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有几组正整数解．

Answer 1

【答案】（1）；（2）原方程有5组正整数解．

【解析】

（1）先化简原方程，由材料可求解； （2）先求出原方程的整数解，根据材料即可求解．

（1）∵(15，20)=5，(4，8)=4，

∴原方程变形为：5x+4y=99，

∴x，

∴99﹣4y是5的倍数，

∴当y=1时，x=19，

∴是原方程的解；

（2）∵5x+4y=99的有正整数解，

方程所有整数解为(t为整数)．

其中

方程所有正整数解记为(t为整数)．

当时，正整数解为：，

当时，正整数解为：，

当时，正整数解为：，

当时，正整数解为：，

∴原方程有5组正整数解．