Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．

（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．

（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；

（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）BH﹣MG＝BE．

【解析】

（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论；

（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论；

（3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论．

（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，

∴AO＝CO＝OB＝2，

∵BE＝ ，

∴OE＝，

∵AC⊥BD，

∴∠COE＝90°，

∴CE＝ ,

由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°，

∴△CEF的面积＝；

（2）证明：如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，

∵EP⊥BC，FM⊥CD，

∴∠EPC＝∠FMC＝90°，

∵∠BCD＝∠ECF＝90°，

∴∠PCE＝∠MCF，

∵CE＝CF，

∴△CPE≌△CMF（AAS），

∴EP＝FM，

∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，

∴EP＝EN，

∴EN＝FM，

∵FM⊥CD，

∴∠FMG＝∠ENH＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠NHE＝∠MGF，

∴△NHE≌△MGF（AAS），

∴NH＝MG，

∴BH+MG＝BH+NH＝BN，

∵△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝BE，

∴BH+MG＝BE；

（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：

如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，

∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，

∴EP⊥CD，

∴∠EPC＝∠FMC＝90°，

∵∠M＝∠ECF＝90°，

∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，

∴∠ECP＝∠CFM，

∵CE＝CF，

∴△CPE≌△FMC（AAS），

∴PC＝FM，

∵△DPE是等腰直角三角形，

∴PE＝PD，

∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，

∵AB∥CD，

∴∠H＝∠FGM，

∵∠ENH＝∠M＝90°，

∴△HNE≌△GMF（AAS），

∴NH＝MG，

∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，

∵△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝BE，

∴BH﹣MG＝BE．