Question

【题目】如图，在⊙O 中，AB 是直径，点 D 是⊙O 上一点，点 C 是弧 AD 的中点，CE⊥AB 于点 E，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE，CB 于点 P，Q，连接 AC．

(1）求证：GP＝GD.

（2）下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②点 P 是△ACQ 的外心，其中正确结论是 .（只需填写序号）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）②.

【解析】

连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD；

（2）由于弧AC 与弧BD不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；先由垂径定理得到A为弧CF的中点，再由C为弧AD的中点，得到弧CD=弧AF，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知②正确；

解：（1）连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠EAP=∠EAP+∠GPD=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD；

（2）∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴弧AC=弧CD≠弧BD，

∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

∵弦CF⊥AB于点E，

∴A为弧CF的中点，即弧AF=弧AC，

又∵C为弧AD的中点，

∴弧AC=弧CD，

∴弧AF=弧CD，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP．

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故②正确；

故答案为：②．