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已知:抛物线C1:y=x2。如图(1),平移抛物线C1得到抛物线C2,C2经过C1的顶点O和A(2,0),C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。

(1)求抛物线C2的解析式;
(2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论;
(3)如图(2),将抛物线C2向下平移m个单位(m>0)得抛物线C3,C3的顶点为G,与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点,点P()在直线MG上。问:当m为何值时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?
解:(1)∵抛物线C2经过点O(0,0),∴设抛物线C2的解析式为
∵抛物线C2经过点A(2,0),∴,解得
∴抛物线C2的解析式为
(2)∵,∴抛物线C2的顶点D的坐标为(1,)。
当x=1时, ,∴点B的坐标为(1,1)。
∴根据勾股定理,得OB=AB=OD=AD=。∴四边形ODAB是菱形。
又∵OA=BD=2,∴四边形ODAB是正方形。
(3)∵抛物线C3由抛物线C2向下平移m个单位(m>0)得到,
∴抛物线C3的解析式为
中令x=0,得,∴M
∵点N是M关于x轴的对称点,∴N。∴MN=
当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况:
①若MN是平行四边形的一条边,由MN=PQ=和P()得Q()。
∵点Q 在抛物线C3上,∴,解得(舍去)。
②若MN是平行四边形的一条对角线,由平行四边形的中心对称性,得Q()。
∵点Q 在抛物线C3上,∴,解得(舍去)。
综上所述,当时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。

试题分析:(1)根据平移的性质,应用待定系数法即可求得抛物线C2的解析式。
(2)求出各点坐标,应用勾股定理求出各边长和对角线长,根据正方形的判定定理可得结论。
(3)分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为
A.B.C.D.

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如图,抛物线与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A、B作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接点MD、ME.

(1)求点A,B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标;若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果);若不能,说明理由.

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如图,在直角梯形AOCB中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O为原点,OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动,点O在线段OC上由C向点O运动,QD⊥OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点E′是E关于y轴的对称点,点Q运动到何处时,四边形OEAE′是菱形?
(3)点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t秒,当t为何值时,PB∥OD?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知两点均在抛物线上,点是该抛物线的顶点,若,则的取值范围是【   】
A.B.C.D.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是
A.B.C.D.

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阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,同理,所以AB的中点坐标为.由勾股定理得,所以A、B两点间的距离公式为
注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:

如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是
A.a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0
C.a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(x1,0)、(2,0),且﹣2<x1<﹣1,与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方,则下列结论:
①abc<0;②b2>4ac;③2a+b+1<0;④2a+c>0.
则其中正确结论的序号是
A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

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