Question

已知关于x的一元二次方程x²-3x+2a+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最大整数，且一元二次方程x²-3x+2a+1=0的两个根为x₁，x₂，求x₁²x₂+x₁x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-3）²-4（2a+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据（1）中a的范围确定a=0，原方程化为x²-3x+1=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，而x₁²x₂+x₁x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂），然后利用整体代入方法计算即可．

解答：解：（1）根据题意得△=（-3）²-4（2a+1）＞0，
解得a＜

5

8

；

（2）∵a＜

5

8

，
∴a的最大整数为0，
把a=0代入原方程得x²-3x+1=0，
则x₁+x₂=3，x₁•x₂=1
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂）=1×3=3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．