Question

13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2014这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）利用神秘数的定义判断即可；
（2）根据题意表示出两个连续偶数的平方差，利用平方差公式化简即可做出判断；
（3）利用神秘数得定义判断可得结果．

解答 解：（1）∵28=8²-6²，
∴28是神秘数；
2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；
（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，
∵（2k+2）²-（2k）²=8k+4=4（2k+1），
∴神秘数是4的倍数；
（3）不是，根据定义得到神秘数是两个连续偶数的平方差．

点评 此题考查了平方差公式，弄清题中“神秘数”的定义是解本题的关键．