【题目】如图1,已知:△ABD∽△ACE,∠ABD=∠ACE=90°,连接DE,O是DE的中点。
(1)连接OC,OB 求证:OB=OC;
(2)将△ACE绕顶点A逆时针旋转到图2的位置,过点E作EM∥AD交射线AB于点M,交射线AC于点N,连接DM,BC. 若DE的中点O恰好在AB上。
①求证:△ADM∽△AEN
②求证:BC∥AD
③若AC=BD=3,AB=4,△ACE绕顶点A旋转的过程中,是否存在四边形ADME矩形的情况?如果存在,直接写出此时BC的值,若不存在说明理由。
【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②详见解析;③存在四边形ADME为矩形,此时BC=
【解析】
(1)延长CO交BD于点F,可证△CEO≌△FDO,则OC=OF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解;
(2)①根据平行的性质得∠DAM=∠EMA,可证△AOD≌△MOE,则AD=EM,根据平行四边形的判定定理可判断ADME是平行四边形,由平行四边形的性质可得∠ADM=∠AEN,由△ABD∽△ACE可得∠BAD=∠CAE,即可证△ADM∽△AEN;
②根据相似三角形对应边成比例可得 ,由比例的性质得 ,因为∠MAN=∠BAC,根据相似三角形的判定定理可证出△AMN∽△ABC,则∠AMN=∠ABC,根据同位角相等,两直线平行可得MN∥BC,根据平行于同一条直线的两直线平行可得BC∥AD;
③存在四边形ADME为矩形,此时BC=,如图,延长BC交AE于F,求出BF= ,CF= ,即可求得BC的值.
解:(1)延长CO交BD于点F
∵∠ABD=∠ACE=90°
∴CE∥BD
∴∠CEO=∠FDO
∵O是DE的中点
∴OE=OD
∵∠COE=∠DOF
∴△CEO≌△FDO
∴OC=OF
∵∠CBF=90°
∴BO=CF=OC ;
(2)①∵O是DE的中点
∴OE=OD
∵EM∥AD
∴∠DAM=∠EMA
∵∠AOD=∠MOE
∴△AOD≌△MOE
∴AD=EM
∵EM∥AD
∴四边形ADME是平行四边形
∴∠ADM=∠AEN
∵△ABD∽△ACE
∴∠BAD=∠CAE
∴△ADM∽△AEN ;
②∵△ADM∽△AEN
∴
∵△ABD∽△ACE
∴
∴
∴
∵∠MAN=∠BAC
∴△AMN∽△ABC
∴∠AMN=∠ABC
∴MN∥BC
∵MN∥AD
∴BC∥AD ;
③ 如图,存在四边形ADME为矩形,此时BC= .
故答案为:(1)详见解析;(2)①详见解析;②详见解析;③存在四边形ADME为矩形,此时BC= .
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【题目】如图,已知抛物线与x轴相交于A,B两点,点P是抛物线上一点,且,.
求该抛物线的表达式;
设点为抛物线上的一个动点,当点M在曲线BA之间含端点移动时,求的最大值及取得最大值时点M的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积.
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【题目】对于二次函数y= +(1-2a)x(a>0),下列说法错误的是( )
A. 当时,该二次函数图象的对称轴为y轴
B. 当a>时,该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧
C. 该二次函数的图象的对称轴可为x=1
D. 当x>2时,y的值随x的值增大而增大
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【题目】如图(1)是某公园里的一种健身器材,其侧面示意图如图(2)所示,其中AB=AC=120cm,BC=80cm,AD=30cm,∠DAC=90°.求点D到地面的高度是多少?
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【题目】现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等,视力日渐减退,我市为了解学生的视力变化情况,从全市八年级随机抽取了1200名学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图,并对视力下降的主要因素进行调查,制成扇形统计图.
解答下列问题:
(1)图中“其他”所在扇形的圆心角度数为 ;
(2)若2016年全市八年级学生共有24000名,请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名?
(3)根据扇形统计图信息,你认为造成中学生视力下降最主要的因素是什么,你觉得中学生应该如何保护视力?
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【题目】如图,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,且B,C在x轴的负半轴上,E是DC的中点,反比例函数y=(x<0)的图象经过点E,与AB交于点F.
(1)若点B坐标为(﹣6,0),求m的值;
(2)若AF﹣AE=2.且点E的横坐标为a.则点F的横坐标为 (用含a的代数式表示),点F的纵坐标为 ,反比例函数的表达式为 .
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【题目】已知A,B两地相距120千米,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,乙骑自行车,甲骑摩托车,图中DE,OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(单位:千米)与时间t(单位:小时)的函数关系的图象,设在这个过程中,甲、乙两人相距y(单位:千米),则y关于t的函数图象是( )
A. B. C. D.
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【题目】某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) |
|
销售玩具获得利润w(元) |
|
(2)在(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元.
(3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
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