Question

7．已知二次函数y=ax²（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则AB的长为$\frac{3\sqrt{6}}{2}$或3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把A、B两点横坐标分别代入解析式，求出纵坐标，又因为△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各边长．

解答 解：如图所示：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，作AC⊥BE于C．
将x=-1、x=2分别代入解析式得，y_A=a，y_B=4a．
于是BC=4a-a=3a，AC=2-（-1）=3，
所以AB²=（3a）²+3²=9a²+9，
又因为在Rt△ADO中，AO²=a²+1，
在Rt△BOE中，OB²=2²+（4a）²
当∠AOB=90°时，根据勾股定理，AB²=AO²+BO²
即9a²+9=a²+1+2²+（4a）²，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值不合题意舍去），
于是AO²=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
OB²=2²+8=12，OB=2$\sqrt{3}$，
AB²=AO²+BO²=$\frac{3}{2}$+12=$\frac{27}{2}$，AB=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$；
当∠OAB=90°时，AB²+AO²=BO²，即9a²+9+a²+1=2²+（4a）²，解得a=1，
于是OA=$\sqrt{2}$，OB=2$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{2}$，
当∠OBA=90°时，AB²=AO²-BO²，即9a²+9=a²+1-[2²+（4a）²]，无解；
综上所述，AB的长度为：$\frac{3\sqrt{6}}{2}$或3$\sqrt{2}$．
故答案是：$\frac{3\sqrt{6}}{2}$或3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是作出辅助线，利用勾股定理建立起关于参数a的关系式，再求出各边长，将它们相加即可求出周长．