Question

18．如图，等腰△ABC中，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，过点C作CE⊥BD，交BD于点E，则$\frac{DE}{BE}$的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\sqrt{5}$-2
• C． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△CED∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得CD：DE=BD：CE；最后设ED=x，BD=BC=a，从而得到BC=BD，则BE=CE=CD=a-x，利用BE²=BD•ED得到有关x的方程，用a表示出有关的线段，求线段的比即可．

解答 解：在等腰△ABC中，∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=36°
同理∠DCE=∠BCE=36°
∴∠DEC=36°+36°=72°，∠BDC=72°
∴△CED∽△BCD
故：CD：DE=BD：CE，
设ED=x，BD=BC=a，
∵BC=BD，则BE=CE=CD=a-x，
故BE²=BD•ED，即（a-x）²=ax，
移项合并同类项得x²-3ax+a²=0，
解得x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，或x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a＞BD（舍去）
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{x}{a-x}$=$\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}a}{a-\frac{3-\sqrt{5}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选A．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例，解题的关键是从复杂的图形中找到相似的三角形，难度中等．