Question

6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点M是BC的中点，连接AM．动点P从点M出发沿MB以每秒1个单位的速度向B匀速运动，动点Q从点M出发以每秒2个单位的速度沿射线MC匀速运动．过点P作PD⊥BC，且PD=PM，在点P、Q的运动过程中，以PD、PQ为边在 的同侧作矩形PQED（图1）．点P、Q同时出发，在点P、Q同时停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=$\frac{12}{7}$时，点D恰好落在AB上，当t=3时，点A恰好在DE上．
（2）在点P、Q的运动过程中，设矩形PQED与△ABC重合部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
（3）如图2，已知△ABC≌△A₁B₁C₁（点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应），△ABC不动，△A₁B₁C₁运动且满足：点B₁在线段BC上运动，A₁B₁始终经过点A，B₁C₁交AC于点N，当AN最短时，求重叠部分△AB₁N的面积，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当点D落在AB边上时，△BPD∽△BAM，BP=4-t，可以确定DP的长度，得到答案；当点A恰好在DE上，DP=AM，即可得到答案．
（2）分四种情况讨论，当点E落在AC边上1＜t＜1.2时，则重叠部分正边形DPQE；当点D落在AB边上1.2＜t＜$\frac{12}{7}$时；当点Q与点C重合$\frac{12}{7}$＜t≤2时；当点A恰好在DE上2＜t≤3时；利用面积分别求得代数式即可；
（3）证得△BAB₁∽△NB₁C，利用性质得出$\frac{AB}{B{B}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}C}{CN}$，设BB₁=x，B₁C=8-x，利用二次函数的性质求得AN最小值，求得△AB₁N为直角三角形，进一步求得边得出答案即可．

解答 解：（1）当点D落在AB边上时，△BPD∽△BAM，
则$\frac{DP}{AM}$=$\frac{BP}{BM}$
$\frac{t}{3}$=$\frac{4-t}{4}$
t=$\frac{12}{7}$；
当点A恰好在DE上，DP=AM=3，则t=3；
（2）如图，

当0＜t＜1.2时，S=3t²；
如图，

当1.2＜t≤$\frac{12}{7}$时，S=$\frac{7}{6}$t²+10t-6；
如图，

当$\frac{12}{7}$＜t≤2时，S=$\frac{77}{24}$t²+17t-12；
如图，

当2＜t≤3时，S=$\frac{41}{24}$t²+11t-6；
（3）如图，

∵△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴∠B=∠AB₁C₁，
∵∠B+∠BAB₁=∠AB₁C₁+∠NB₁C，
∴∠BAB₁=∠NB₁C，
∴△BAB₁∽△NB₁C，
∴$\frac{AB}{B{B}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}C}{CN}$，
设BB₁=x，B₁C=8-x，
∴$\frac{5}{x}$=$\frac{8-x}{CN}$，
∴CN=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x，
∴AN=5-CN=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+5=$\frac{1}{5}$（x-4）²+$\frac{9}{5}$，
当x=4时，AN=$\frac{9}{5}$，此时B₁为BC的中点，
∴∠BAB₁=∠CAB₁，
∵∠B=∠AB₁N且∠BAB₁+∠B=90°，
∴∠CAB₁+∠AB1N=90°，
∴∠ANB₁=90°，
∵AB₁=3，AN=$\frac{9}{5}$，
∴B₁N=$\frac{12}{5}$，
∴S△AB₁N=$\frac{54}{25}$．

点评 此题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的运用，掌握分类讨论思想的渗透是解决问题的关键．