Question

11．如图，由三个小正方形拼成的矩形，给出下列结论：
①△ABC∽△ACD；②△BAC∽△BDA；③∠1=∠2+∠3；④∠1+∠2+∠3=90°．其中一定成立的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDO，利用勾股定理即可求得△ABC、△ACD以及△BDA的边长，判断对应边的比是否相等即可判断是否相似，然后根据相似三角形的对应角相等即可判断③④．

解答 解：∵边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDO，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
BC=a，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
CD=a，AD=$\sqrt{10}$a．
∴△ABC和△ACD的边的比不相等，则不相似，故①错误．
∵BC=a，BD=2a，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA．
故②正确；

∵△ABC∽△DBA，
∴∠3=∠BAC，
∵∠ABO=∠2+∠BAC=45°，
∴∠2+∠3=45°．
又∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠2+∠3，故③正确．
∠1+∠2+∠3=90，故④正确．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，根据三边的关系判断△ABC、△ACD以及△BDA是否相似是关键．