Question

20．如图，已知点A（8，0），sin∠AB0=$\frac{4}{5}$，抛物线经过点0、A，且顶点在△A0B的外接圆上，则此抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+4x．

Answer 1

分析 根据圆周角定理以及勾股定理和垂径定理得出E，F点的坐标，进而利用顶点式求出抛物线解析式即可．

解答 解：如图所示：连接AC，过圆心O′作EF⊥OA，
∵∠AOC=90°，∠ABO=∠OCA，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∵点A（8，0），
∴AC=10，
根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴MF=2，
∴F点坐标为：（4，-2），
设过O，A，F的抛物线解析式为：y=a（x-4）²-2，
将A代入（8，0）得：0=a（8-4）²-2，
解得：a=$\frac{1}{8}$，
∴此时抛物线解析式为：y=$\frac{1}{8}$（x-4）²-2=$\frac{1}{8}$x²-x，
根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴ME=8，
∴E点坐标为：（4，8），
设过O，A，E的抛物线解析式为：y=a（x-4）²+8，
将A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²+8，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴此时抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
故答案是：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x．

点评 此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，根据已知得出E，F点坐标是解题关键．