Question

12．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）求证：△ACD≌△BCE；
（3）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE
（2）根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；
（3）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．

解答 （1）证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
（2）证明：在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PBC=∠DAC=30°，
∴在Rt△BHC中，CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识．综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．