Question

3．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，按这样的规律进行下去，第2011个正方形（正方形ABCD看作第1个）的面积为（　　）

• A． 5（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁰
• B． 5（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁰
• C． 5（$\frac{9}{4}$）²⁰¹¹
• D． 5（$\frac{3}{2}$）²⁰¹¹

Answer 1

分析 先求出第一个正方形的边长和面积，再求出第二个正方形的边长和面积，根据第一个正方形和第二个正方形的面积得出规律，根据规律即可得出结论．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AB=AD=BC=$\sqrt{5}$，
∴正方形ABCD的面积为：$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=5，∠ABB₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ODA∽△BAA₁，
∴$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CA₁=BC+BA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴第二个正方形的面积为：$\frac{3\sqrt{5}}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=5×$\frac{9}{4}$，…，
得出规律，第2011个正方形的面积为：5$（\frac{9}{4}）^{2010}$；
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理；通过计算第一个正方形和第二个正方形的面积得出规律是解决问题的关键．