Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E，BE和AD相交于点F，设∠AFB=y，∠C=x．
（1）求证：∠CBE=∠CAD；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）写出函数的定义域．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,函数关系式,函数自变量的取值范围

专题：

分析：（1）先根据垂直平分线的性质得出BE=CE，故∠CBE=∠C=x．再由D为BC的中点可知AD=DC，故∠CAD=∠C=x，由此可得出结论；
（2）由（1）知，∠CBE=∠CAD=∠C=x，根据三角形外角的性质可得∠ADB=2x，同理可得出结论；
（3）由直角三角形的性质可得出结论．

解答：（1）证明：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠CBE=∠C=x．
∵∠A=90°，D为BC的中点，
∴AD=DC，
∴∠CAD=∠C=x，
∴∠CBE=∠CAD；

（2）解：∵由（1）知，∠CBE=∠CAD=∠C=x，
∴∠ADB=2x，
∵∠AFB=∠EBD+∠ADB，
∴y=3x．

（3）解：∵∠C+∠ABC=90°，∠CBE=∠CAD，
∴0°＜x＜45°．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，用到的知识点为：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．