Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；

（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；

（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；

（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x²+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x²+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S_△APC=﹣（x﹣）²+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x²+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}﹣S_△AGC=﹣（x﹣）²+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x²+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，

解得，

故抛物线为y=﹣x²+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得

，

解得

故直线AC为y=x+1；

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵点E在直线AC上，

设E（x，x+1），

①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=﹣x²+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，

则F（x，x﹣1）

由F在抛物线上

∴x﹣1=﹣x²+2x+3

解得x=或x=

∴E（，）或（，）

综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x²+2x+3）

∴PQ=（﹣x²+2x+3）﹣（x+1）

=﹣x²+x+2

又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ

=PQ•AG

=（﹣x²+x+2）×3

=﹣（x﹣）²+

∴面积的最大值为．

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x²+2x+3）

又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}﹣S_△AGC

=（x+1）（﹣x²+2x+3）+（﹣x²+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3

=﹣x²+x+3

=﹣（x﹣）²+

∴△APC的面积的最大值为．