Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AF平分∠BAC交CD于E点，交BC于F点，EG∥AB交BC于G点．
（1）求证：CE=CF；
（2）求证：CF=BG．

Answer 1

分析 根据已知利用角之间的关系得出∠CEF=∠CFE，由等角对等边可得到CE=CF，过E作EH⊥AB于H，利用AAS判定Rt△CFG≌Rt△EHB，从而得到CG=EB即CE=GB，所以就得到了CE=CF=GB．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角对等边）．

（2）如图，过F作FH⊥AB于H，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH=FC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴FH=CE．
∵EG∥AB，
∴∠CGE=∠FBH．
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴∠CEG=∠FHB=90°．
在Rt△CEG和Rt△FHB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGE=FBH}\\{∠CEG=∠FHB}\\{CE=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△CEG≌Rt△FHB（AAS）．
∴CG=FB．
∴CF=GB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．