在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.抛物线y=kx2-2kx-3k与x轴交于点B.C.与y轴正半轴交于点A.满足:AO=$\frac{3}{4}$BC．(1)如图1.求抛物线的解析式,(2)如图2.点E为第一象限内抛物线上的一动点.连接BE交y轴于点D.当点E的横坐标等于线段OD的2倍时.求点E的坐标,的条件下.如图3.过点B作BF⊥BE.点P在抛物线上.连接EP交BF于点F.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=kx²-2kx-3k与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴正半轴交于点A，满足：AO=$\frac{3}{4}$BC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为第一象限内抛物线上的一动点，连接BE交y轴于点D，当点E的横坐标等于线段OD的2倍时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点B作BF⊥BE，点P在抛物线上，连接EP交BF于点F，过点B作BG⊥EF于点H，交直线AE于点G，当∠BGE=90°-$\frac{1}{2}$∠BGF时，求线段EP的长．

分析（1）令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，即得线段BC的长度，根据AO=$\frac{3}{4}$BC，可得点A的坐标；
（2）作EI⊥x轴于I，易得△BOD∽△BIE，可得$\frac{BO}{BI}$=$\frac{DO}{EI}$，即可求出点E的坐标；
（3）延长GF交x轴于M，作GN⊥x轴于N，与BF交于点K，连接EK，延长BF交直线EA于L，作BW⊥EA于W，证明△GBM为等腰三角形，从而证得△BWE为等腰直角三角形，且△BEL为直角三角形，易得△NBK为等腰三角形，根据勾股定理，求出点G的坐标，求出BG，EF的坐标，根据直线EF和抛物线相交于点P，即可求出点P，根据两点求线段的公式，即可求出线段EP的长．

解答解：（1）当y=0时，kx²-2kx-3k=0，解得x₁=-1，x₂=3，则B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-1（-1）=4，
∴AO=$\frac{3}{4}$BC=3，则A（0，3），
把A（0，3）代入y=kx²-2kx-3k得-3k=3，解得k=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）作EI⊥x轴于I，如图2，
设E（t，-t²+2t+3）（t＞0），则OI=t，OD=$\frac{1}{2}$t，
∵OD∥EI，
∴△BOD∽△BIE，
∴$\frac{BO}{BI}$=$\frac{DO}{EI}$，即$\frac{1}{t+1}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{-{t}^{2}+2t+3}$，
整理得t²-t-2=0，解得t₁=-1（舍去），t₂=2，
∴E点坐标为（2，3）；
（3）如图3，延长GF交x轴于M，作GN⊥x轴于N，与BF交于点K，连接EK，延长BF交直线EA于L，作BW⊥EA于W，
∵A（0，3），E（2，3），
∴AE∥x轴，
∴GE⊥GN，
∴∠2=90°-∠3，
∵BH⊥EF，
∴∠GHE=90°，
∴∠2=90°-∠1，
∴∠1=∠3，
∵∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠BGF，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠BGM，
∴∠3=∠4，
，∵GN⊥BM，
∴△GBM为等腰三角形，
∴BN=MN，
∵BW=EW=3，
∴△BWE为等腰直角三角形，
∴△BEL为直角三角形，
∠DBO=45°，
∵BF⊥BE，
∴∠NBK=45°，
∴△NBK为等腰三角形，
设BN=m，则KN=m，BK=$\sqrt{2}$m，
在Rt△GKE中，KE²=GK²+GE²=（3-m）²+4²，
在Rt△BKE中，KE²=BK²+BE²=（$\sqrt{2}$m）²+（3$\sqrt{2}$）²，
解得：x₁=1，x₂=-7（不合题意，舍去），
∴点G（-2，3）．
设直线BG的解析式为：y=kx+b，点B（-1，0），G（-2，3）在直线BG上，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{-2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BG：y=-3x-3，
∵直线EF⊥BG，
∴设直线FE的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+b₁，点E（2，3）在直线FE上，
∴$\frac{1}{3}×2+{b}_{1}=3$，解得：b₁=$\frac{7}{3}$，
∴直线EF：y=$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$，
联立方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴点P（$-\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$），
∴PE=$\sqrt{（-\frac{1}{3}-2）^{2}+（\frac{20}{9}-3）^{2}}=\frac{7\sqrt{10}}{9}$．

点评本题主要考查二次函数的综合应用，第三小题，根据题意画出图形，添加合适的辅助线是解决此题的基础，能够灵活运用等腰三角形、直角三角形，待定系数法，交点坐标公式等知识是解决此题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：选择题

1．下列计算正确的是（　　）

A．

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B．

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C．

a³•a²=a⁵

D．

（-b²）³=-b⁵

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