Question

4．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E，交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG=30°，则下列结论：（1）DC=3OG；（2）OG=$\frac{1}{2}$BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S_△AOE=$\frac{1}{6}$S_{四边形ABCD}．其中正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC≌△EOA，然后利用三角函数求得BC、AB以及OA、OC之间的关系即可作出判断．

解答 解：∵EF⊥AC，G是AF的中点，
∴AG=OG=GF，
∴∠OAF=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=OC，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a．
AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，AB=$\sqrt{3}$a，OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a≠$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$BC，故②错误；
易证△FOC≌△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²，S_矩形ABCD=a•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$a²，
∴S_△AOE=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，故④正确．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质以及菱形的判定，正确理解图形中∠CAB=30°，从而确定BC、AB以及OA、OC之间的关系是关键．