Question

20．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：DE=CF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）证明AD=BC；证明四边形ABCD内接于圆，得到∠DAC=∠CBD；证明AE=BF，即可解决问题．
（2）由勾股定理求出BD=4$\sqrt{5}$cm，根据矩形的性质，即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AC=BD；∠DAB+∠DCB=180°，
∴四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAC=∠CBD；
∵OA=OB，且E、F分别为OA、OB的中点，
∴AE=BF；
在△ADE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠DAE=∠CBF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴DE=CF．
（2）由勾股定理得：BD²=AD²+AB²，
∵AD=4cm，AB=8cm，
∴BD=4$\sqrt{5}$（cm），
∵点F为OB的中点，
∴OF=$\frac{1}{4}$×4$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$（cm）．

点评 该题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．