Question

在四边形ABCD中，AD=10，E、F分别为是AB、CD上一点，且AE=CF=4，点G从A出发沿AD向D点运动，同时点H从点C出发沿CB向点B运动，点G、H的速度均为1cm/s，运动时间为t s．
（1）若四边形ABCD为正方形，那么t=

 

S时，能使GH=EF； 
（2）若四边形ABCD为平行四边形，AB=6，∠DAB=60°，是否存在t值，使GH=EF，说明理由；
（3）若四边形ABCD为矩形，AB=6，那么t为何值时，能使GH=EF，说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）当四边形ABCD为正方形时，过E作EM∥BC，交CD于M，则可知EM=AD=4，FM=10-4-4=2，过G作GN∥AB，交BC于N，要当GH=EF时，可知△EMF≌△GNH，由题意可得MH=10-2t=EM=4，可求得t；
（2）分别过A和E作AJ⊥CD，EK⊥CD，分别交CD延长线和CD于点J、K，则可求得AJ=EK=5

3

，而CJ=CD+AE=6+5=11，则KF=11-4-5=2，求得EF的长，过点G和A分别作BC的垂线，垂足分别为O、P，则理可表示出GO和OH的长度，进一步可求出时间t；
（3）方法同（1）．

解答：解：
由题意可知0≤t≤10，
（1）当四边形ABCD为正方形时，过E作EM∥BC，交CD于M，过G作GN∥AB，交BC于N，

则可知EM=AD=10，FM=CD-CF-DM=10-4-4=2，HN=BC-BN-CH=BC-CH-AG=10-2t，
当GH=EF时，
在△RtEMF和Rt△GNH中

EM=GN EF=GH

∴△EMF≌△GNH（HL），
∴NH=FM，
∴10-2t=2，
解得t=2，
故答案为：2；
（2）存在，理由如下：
四边形ABCD为平行四边形，分别过A和E作AJ⊥CD，EK⊥CD，分别交CD延长线和CD于点J、K，过点G和A分别作BC的垂线，垂足分别为O、P，

则在Rt△ADJ中，因为∠ADJ=∠DAB=60°，所以AJ=EK=5

3

，JK=

1

2

AD=5，
而CJ=CD+AE=6+5=11，则KF=CJ-CF-JK=11-4-5=2，
则在Rt△EFK中，由勾股定理可得：EF²=EK²+FK²=75+4=79，
同理在Rt△APB中可求得AP=GO=3

3

，PB=3，所以PC=10+3=13
而CH=AG=t，所以OH=13-2t，则在Rt△GOH中，由勾股定理可得GH²=GO²+HO²=27+（13-2t）²，
由EF=GH可得：27+（13-2t）²=79，
解得t=6.5-

13

或t=6.5+

13

＞10（舍去），
故存在满足条件的t；
（3）当t为5-

17

或5+

17

时，EF=GH，理由如下：
四边形ABCD为矩形，过G作GS⊥BC，垂足为S，过E作ER⊥CD，垂足为R，

则ER=AD=10，CR=BE=6-4=2，所以RF=CF-CR=4-2=2，在Rt△ERF中，由勾股定理可得：EF²=ER²+FR²=104，
又GS=AB=6，AG=BS=CH=t，所以SH=10-2t，在Rt△GSH中，由勾股定理可得：GH²=GS²+SH²=36+（10-2t）²，
由EF=GH可得：104=36+（10-2t）²，
解得t=5-

17

或t=5+

17

，
所以当t为5-

17

或5+

17

时，EF=GH．

点评：本题主要考查矩形、正方形及平行四边形的性质，利用条件求出EF的长是解题的关键．