Question

某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量；（注：总成本=每吨的成本×生产数量）
（3）当产品的生产数量为多少时，总成本最低．

Answer 1

分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由待定系数法求出其解即可；
（2）根据（1）的解析式由总成本=每吨的成本×生产数量建立方程求出其解即可．
（3）设总成本为w，由总成本=每吨的成本×生产数量表示出w，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由函数图象，得

10=10k+b 6=50k+b

，
解得：

k=- 1 10 b=11

y=-

1

10

x+11（10≤x≤50）；

（2）由题意，得
280=（-0.1x+11）x．
整理，得：x²-110x+2800=0．
解得：x₁=40，x₂=70，
∵10≤x≤50，
∴x=40．
当生产这种产品的总成本为280万元时，该产品的生产数量为40吨；

（3）设总成本为w，由题意，得
w=（-0.1x+11）x，
=-0.1x²-11x，
=-0.1（x-55）²+320.5
∴a=-0.1＜0，
∴当10＜x＜50时，w随x的增大而增大．
∴当x=10时，w_最小=118．
∴当产品的生产数量为10时，总成本最低为118万元．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．