Question

5．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过点A（-2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B′的坐标可表示为（-$\frac{4}{t}$，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-$\frac{4}{t}$|=$\frac{4}{t}$，然后解方程可得到满足条件的t的值．

解答 解：如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-$\frac{4}{t}$，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-$\frac{4}{t}$|=$\frac{4}{t}$，
整理得t²-2t-4=0，解得t₁=1+$\sqrt{5}$，t₂=1-$\sqrt{5}$（不符合题意，舍去），
∴t的值为1+$\sqrt{5}$．
故答案为1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．