练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-
    12
    x-1与x轴交于点A，与y轴交于精英家教网点B．点C为AB延长线上一点且BC=AB，抛物线y=ax2+bx-3过点A、点C．
    （1）求点A、B、C的坐标；
    （2）求抛物线的解析式及顶点坐标；
    （3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，将△ABO绕点M旋转，使得点A的对应点落在抛物线上，试求出A的对应点的坐标；（直接写出结果）
    （4）△ABO绕平面内的某一点旋转180°后，是否存在A、B的对应点同时落在抛物线上？若存在，求出对应点A′、B′和旋转中心的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据直线AB的解析式，可确定A、B的坐标，由于BC=AB，即B是AC的中点，即可求得点C的坐标．
    （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
    （3）若点A的对应点落在抛物线上，那么这些点到M的距离都等于MA的长，可设出点A对应点的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式列方程求解．（此方程是个高次方程，可用换元法求解）
    （4）假设存在符合条件的旋转中心，由于旋转的度数为180°，那么旋转后A′B′∥AB，可设出旋转中线的坐标，然后表示出A′、B′的坐标，由于A′、B′都在抛物线的图象上，可将它们代入抛物线的解析式中，即可求得A′、B′以及旋转中心的坐标．
    解答：解：（1）∵直线AB：y=-
    1
    2
    x-1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-2；
    ∴A（-2，0），B（0，-1），
    又∵AB=BC，即B是AC的中点，
    ∴C（2，-2）．（3分）

    （2）∵y=ax2+bx-3过A（-2，0）、C（2，-2）
    ∴
    4a-2b-3=0
    4a+2b-3=-2
    （5分）
    解得：a=
    1
    2
    ，b=-
    1
    2
    ．
    ∴y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3．（7分），
    顶点坐标（
    1
    2
    ，-
    25
    8
    ）
    精英家教网

    （3）由（2）知，抛物线的对称轴为x=
    1
    2
    ，则M（
    1
    2
    ，0）；
    设点A的对应点的坐标为（x，
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3），根据旋转的性质，有
    （x-
    1
    2
    ）2+（
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3）2=（-2-
    1
    2
    ）2，
    即（x-
    1
    2
    ）2+[
    1
    2
    （x-
    1
    2
    ）2-
    25
    8
    ]2=
    25
    4
    ，
    设（x-
    1
    2
    ）2=m，则有：
    m+（
    1
    2
    m-
    25
    8
    ）2=
    25
    4
    ，
    解得m=
    9
    4
    ，m=
    25
    4
    ；
    将m的值代入（x-
    1
    2
    ）2=m中，可求得：
    A1（-2，0）（舍去）、A2（-1，-2）、A3（2，-2）、A4（3，0）．（11分）

    （4）旋转后，A′B′∥AB，
    设O′（a，b），△AOB≌△A′O′B′，则A′（a+2，b），B′（a，b+1），代入
    y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3中，
    解得：a=-1，b=-3．
    则A′（1，-3），B′（-1，-2）旋转中心（-
    1
    2
    ，-
    3
    2
    ）．（14分）
    点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形的旋转变化，熟练掌握图形旋转的性质是解决此题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案