Question

3．如图，正方形OABC的顶点A在第一象限，B点坐标为（2，0），正方形ADEF顶点F坐标为（4，0）．
（1）指出图中的非等腰直角三角形的全等三角形，并直接写出∠ABD的度数；
（2）求直线BE的解析式；
（3）将直线BE向左平移多少个单位时经过D点？求出此时直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠OAB=∠DAF=90°，OA=AB，AF=AD，∠AOB=∠OBC，证出∠OAF=∠BAD，由SAS即可证明△OAF≌△BAD，得出∠ABD=∠AOB=45°；
（2）设直线BE的解析式为y=kx+b，直线BE交y轴于M，先求出OM=OB=2，得出M（0，-2），由M和B点的坐标即可求出直线的解析式；
（3）过D作DN∥BE，交x轴于N，则∠DNB=∠OBC=45°，由（1）得：△OAF≌△BAD，∠ABD=∠ABO=45°，得出BD=OF=4，△BDN是等腰直角三角形，D（2，4），BN=BD=4，即可得出结论；设直线DN的解析式为：y=x+c，把D点坐标代入即可求出c，得出结果．

解答 解：（1）△OAF≌△BAD，∠ABD=45°；理由如下：
∵四边形OABC和四边形ADEF是正方形，
∴∠OAB=∠ABC=∠DAF=90°，OA=AB，AF=AD，∠AOB=∠OBC=45°，
∴∠OAF=∠BAD，
在△OAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}&{\;}\\{∠OAF=∠BAD}&{\;}\\{AF=AD}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△BAD（SAS），
∴∠ABD=∠AOB=∠ABO=45°；
（2）设直线BE的解析式为y=kx+b，直线BE交y轴于M，如图所示：
由（1）得：∠OBC=45°，
∴∠OMB=45°，
∴OM=OB，
∵B点坐标为（2，0），
∴OM=OB=2，
∴M（0，-2），
把M（0，-2），B（2，0）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-2，
∴直线BE的解析式为：y=x-2；
（3）将直线BE向左平移4个单位时经过D点；理由如下：
过D作DN∥BE，交x轴于N，如图所示：
则∠DNB=∠OBC=45°，
由（1）得：△OAF≌△BAD，∠ABD=∠ABO=45°，
∴BD=OF=4，∠OBD=90°，
∴△BDN是等腰直角三角形，D（2，4），
∴BN=BD=4，
∴将直线BE向左平移4个单位时经过D点；
设直线DN的解析式为：y=x+c，
把D（2，4）代入得：c=2，
∴直线DN的解析式为：y=x+2．

点评 本题是一次函数综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法确定一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过证明三角形全等得出点的坐标才能求出直线的解析式．