Question

15．已知关于x的方程kx²-x-$\frac{2}{k}$=0（k≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．

Answer 1

分析 （1）先判断方程为关于x的一元二次方程，再计算出△=9，于是根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式解方程得到x₁=$\frac{2}{k}$，x₂=-$\frac{1}{k}$，然后利用整数的整除性确定k的值．

解答 （1）证明：∵k≠0，
∴kx²-x-$\frac{2}{k}$=0（k≠0）为关于x的一元二次方程，
∵△=（-1）²-4k×（-$\frac{2}{k}$）=9＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x=$\frac{1±\sqrt{9}}{2k}$=$\frac{1±3}{2k}$，解得x₁=$\frac{2}{k}$，x₂=-$\frac{1}{k}$，
∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，
∴k=-1或k=1．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．