【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q分别从起点同时出发,移动到某一位置时所需时间为t秒.
(1)当t=2时,求线段PQ的长度;
(2)当t为何值时,△PCQ的面积等于5cm2?
(3)在P、Q运动过程中,在某一时刻,若将△PQC翻折,得到△EPQ,如图2,PE与AB能否垂直?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
【答案】(1)厘米;(2)当t=1秒时,△PCQ的面积等于5cm2;(3)当t=时,PE⊥AB.
【解析】
试题分析:(1)当t=2时,可求出CP,CQ的长,根据勾股定理即可求出线段即斜边PQ的长;
(2)由三角形面积公式可建立关于t的方程,解方程求出t的值即可;
(3)延长QE交AC于点D,若PE⊥AB,则QD∥AB,所以可得△CQD∽△CBA,由相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出DE=0.5t,易证△ABC∽△DPE,再由相似三角形的性质可得,把已知数据代入即可求出t的值.
解:(1)当t=2时,
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动,
∴AP=2厘米,QC=4厘米,
∴PC=4,在Rt△PQC中PQ==厘米;
(2)∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动,
∴PC=AC﹣AP=6﹣t,CQ=2t,
∴S△CPQ=CPCQ=,
∴t2﹣6t+5=0
解得t1=1,t2=5(不合题意,舍去)
∴当t=1秒时,△PCQ的面积等于5cm2;
(3)能垂直,理由如下:
延长QE交AC于点D,
∵将△PQC翻折,得到△EPQ,
∴△QCP≌△QEP,
∴∠C=∠QEP=90°,
若PE⊥AB,则QD∥AB,
∴△CQD∽△CBA,
∴,
∴,
∴QD=2.5t,
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
易证△ABC∽△DPE,
∴
∴,
解得:t=(0≤t≤4),
综上可知:当t=时,PE⊥AB.
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【题目】已知BC是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,切点为A,AD交CB的延长线于点D,连接AB,AO.
(1)如图①,求证:∠OAC=∠DAB;
(2)如图②,AD=AC,若E是⊙O上一点,求∠E的大小.
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【题目】如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
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【题目】有一家苗圃计划植桃树和柏树,根据市场调查与预测,种植桃树的利润(万元)与投资成本x(万元)满足如图①所示的二次函数;种植柏树的利润(万元)与投资成本x(万元)满足如图②所示的正比例函数=kx.
(1)分别求出利润(万元)和利润(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式;
(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树,桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元,苗圃至少获得多少利润?最多能获得多少利润?
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【题目】在一个不透明的口袋里装有四个小球,球面上分别标有数字﹣2、0、1、2,它们除数字不同外没有任何区别,每次实验先搅拌均匀.
(1)从中任取一球,求抽取的数字为负数的概率;
(2)从中任取一球,将球上的数字记为x(不放回);再任取一球,将球上的数字记为y,试用画树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果,并求“x+y>0”的概率.
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【题目】二次函数 y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,A(﹣ 1,3)是抛物线的顶点,则以下结论中正确的是( )
A. a<0,b>0,c>0
B. 2a+b=0
C. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小
D. ax2+bx+c﹣3≤0
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【题目】为预防疾病,某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量(mg)与燃烧时间(分钟)成正比例;燃烧后, 与成反比例(如图所示).现测得药物10分钟燃完,此时教室内每立方米空气含药量为8mg.据以上信息解答下列问题:
(1)求药物燃烧时与的函数关系式.(2)求药物燃烧后与的函数关系式.
(3)当每立方米空气中含药量低于1.6mg时,对人体方能无毒害作用,那么从消毒开始,经多长时间学生才可以回教室?
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【题目】如图,AC为⊙O的直径,B为⊙O上一点,∠ACB=30°,延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,连接BE.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)当BE=3时,求图中阴影部分的面积.
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