Question

18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，交AC于点D，延长BA至点F，连接CF，且BE⊥CF．
（1）若EC=2，求CF的长；
（2）试说明AF=AD．

Answer 1

分析 （1）由BE⊥CF，可证得∠CBE=∠FBE，由BE=BE，∠CEB=∠FEB=90°，可证得△BCE≌△BFE，即可证得结论；
（2）由∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，得到∠ABC=∠ACB=45°，∠CBE=∠FBE=22.5°，进而证得∠FCA=22.5°，于是可证得△ACF≌△ABD，由全等三角形的性质即可证得结论．

解答 （1）∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，
∴∠CBE=∠FBE，BE=BE，∠CEB=∠FEB=90°，
在△BCE和≌△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FBE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE，
∴CF=CE=2；

（2）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=Ac，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠CBE=∠FBE=22.5°，
由（1）知BC=BF，
∴∠BCF=∠BFC=67.5°，
∴∠FCA=22.5°，
在△ACF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠DAB=22.5°}\\{AC=AB}\\{∠CAF=∠BAD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD，
∴AF=AD．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，能灵活应用三角形的判定与性质是解决问题的关键．