阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m.求二次函数的最大值．他画图研究后发现.和时的函数值相等.于是他认为需要对进行分类讨论．他的解答过程如下:∵二次函数的对称轴为直线.∴由对称性可知.和时的函数值相等．∴若1≤m＜5.则时.的最大值为2,若m≥5.则时.的最大值为．请你参考小明的思路.解答下列问题:(1)当≤x≤4时.二次函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数

的最大值．他画图研究后发现，

和

时的函数值相等，于是他认为需要对

进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数

的对称轴为直线

，
∴由对称性可知，

和

时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则

时，

的最大值为2；
若m≥5，则

时，

的最大值为

．

请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当

≤x≤4时，二次函数

的最大值为_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数

的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数

的最大值为31，则

的值为_______．

（1）y="49" （2）y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.

试题分析：(1) ∵y=2x²+4x+1∴y=2(x+1)²-1. ∴对称轴x="-1,又-2≤x≤4时，y的最大值，当x=4时，y有最大值为49.（2）∵P≤x≤2" 由于二次函数具有对称性，当x=2与x=-4时，函数值相等，而x=-1时，y有最小值，是因为a﹥0,图像开口向上。∴当p≤-4，x=p时，y有最大值，y=2p²+4P+1.当-4﹤p≤2，x="2时，y有最大值" y="17.(3)当t≥-1，x=t+2时，y有最大值，即2（t+2" ）²+4(t+2)+1=31 (t+7)(t-1)="0" ∴t₁="1" t₂="-7(舍去)" 当t﹤-1，x=t时，y有最大值，即2t²+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t₁="-5" t₂=3(舍去)。∴t=1或t=-5解：（1）当

时，二次函数

的最大值为 49 ； …… 1分
（2）∵二次函数

的对称轴为直线

，
∴由对称性可知，当

和

时函数值相等.
∴若

，则当

时，

的最大值为

. .................... 2分
若

，则当

时，

的最大值为17. ............................. 3分
（3）

的值为

或

. .................................................. 5分
阅卷说明：只写

或只写

得1分；有错解得0分.
点评：本题是难题，难点在于当自变量x的取值范围内要考虑到对称轴的关系，需要讨论。此题还可以依据函数的单调性来讨论，即是在对称轴为准，自变量x在那个范围上是y随着x的增大而增大，即为增函数，反之，减函数。由此得到函数的最值。

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