Question

【题目】如图，四边形ABDC内接于半圆O，AB为直径，AD平分∠CAB，AB﹣AC＝4，AD＝3，作DE⊥AB于点E，则BE的长为_____，AC的长为_____．

Answer 1

【答案】2， 5．

【解析】

作DF⊥AC交AC的延长线于F，证明Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），推出CF=BE，证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），推出AF=AE，由AB-AC=AE+EB-（AF-CF）=2BE=4，推出BE=2，由△ADE∽△ABD，推出，可得AD2=AEAB，设AE=x，由此建立方程即可解决．

如图，作DF⊥AC交AC的延长线于F．

∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DE⊥AB，

∴DE＝DF，∠DAC＝∠DAB

∴，

∴CD＝DB，

∵∠F＝∠DEB＝90°，

∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），

∴CF＝BE，

∵∠F＝∠AED＝90°，AD＝AD．DF＝DE，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴AF＝AE，

∵AB﹣AC＝AE+EB﹣（AF﹣CF）＝2BE＝4，

∴BE＝2，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，

∴△ADE∽△ABD，

∴，

∴AD2＝AEAB，设AE＝x，

则有：63＝x（x+2），

解得x＝7或﹣9（舍弃），

∴AE＝7，

∴AB＝AE+BE＝9，

∵AB﹣AC＝4，

∴AC＝5，

故答案为：2，5．