Question

9．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，D为BC的中点．
（1）求证：∠ABE=∠ACF；
（2）求证：DF=DE；
（3）联接EF，DH⊥EF于H，求证：EH=FH；
（4）设EB与CF相交于K，N为KA的中点，请探索DN和EF的关系．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（3）根据等腰三角形的三线合一解答即可；
（4）根据线段垂直平分线的判定定理解答．

解答 证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE+∠A=90°，∠ACF+∠A=90°，
∴∠ABE=∠ACF；

（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，D为BC的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF=DE；

（3）如图1，∵DF=DE，DH⊥EF，
∴EH=FH；

（4）如图2，∵BE⊥AC，CF⊥AB，N为AK的中点，
∴NF=$\frac{1}{2}$AK，NE=$\frac{1}{2}$AK，
∴NF=NE，又DF=DE，
∴DN垂直平分EF．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、与线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．