Question

19．如图，∠MON=90°，点B在射线ON上且OB=2，点A在射线OM上，以AB为边在∠MON内部作正方形ABCD，其对角线AC、BD交于点P．在点A从O点出发，沿射线OM的运动过程中，下列说法正确的是（　　）

• A． 点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最小值等于$\sqrt{2}$
• B． 点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最大值等于$\sqrt{2}$
• C． 点P不一定在∠MON的平分线上，但线段OP的长有最小值等于$\sqrt{2}$
• D． 点P运动路径无法确定

Answer 1

分析 作PE⊥ON、PF⊥OM，证得△PBE≌△PAF，得出PE=PF，得出结论．

解答 解：作PE⊥ON、PF⊥OM垂足分别为E、F，

∠PEB=∠PFA=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，
∵∠BOA=∠BAC=90°，
∴∠DAM=∠OBA，∠POD=∠PBA=45°，
∴∠DMA+∠POD=∠PBA+∠OBA，
即∠PBE=∠PAF，
在△PBE与△PAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFA}\\{∠PBE=∠PAF}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PAF，
∴PE=PF，
即P在∠MON的平分线上，
当点A在点O时，OP最小，此时，OP是正方形ABCD的对角线的一半，而此时，正方形的边长为2，
OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\sqrt{2}$，
故选A

点评 此题考查正方形的性质，关键是根据三角形全等的判定与性质，角平分线的性质分析．