Question

3．（1）已知：如图1，AE∥CF，易知∠APC=∠A+∠C，请补充完整证明过程：
证明：过点P作MN∥AE
∵MN∥AE（已作）
∴∠APM=∠A（两直线平行，内错角相等），
又∵AE∥CF，MN∥AE
∴MN∥CF
∴∠MPC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
（2）变式：
如图2--图4，AE∥CF，P₁，P₂是直线EF上的两点，猜想∠A，∠AP₁P₂，∠P₁P₂C，∠C这四个角之间的关系，并直接写出以下三种情况下这四个角之间的关系．如图2，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°，如图3，∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°，如图4，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°，

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质直接填空；
（2）如图2，过P₁作P₁B∥AE，过P₂作P₂G∥CF，先根据平行线性质得角相等，再根据∠AP₁P₂+∠P₁P₂C等量代换得出结论；
如图3，过P₂作GP₂∥CF，根据∠AP₁P₂+∠P₁P₂C等量代换得出结论；
如图4，过P₁作P₁G∥CF，根据∠AP₁P₂+∠P₁P₂C等量代换得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点P作MN∥AE，
∵MN∥AE（已作），
∴∠APM=∠A （两直线平行，内错角相等 ），
又∵AE∥CF，MN∥AE，
∴MN∥CF，
∴∠MPC=∠C（两直线平行，内错角相等 ），
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C，
故答案为：A、C、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等；
（2）如图2，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°，理由是：
过P₁作P₁B∥AE，过P₂作P₂G∥CF，
∵P₁B∥AE，
∴∠BP₁A=∠A，
∵P₂G∥CF，
∴∠GP₂C=∠C，
∵P₁B∥AE，P₂G∥CF，AE∥CF，
∴P₁B∥P₂G，
∴∠BP₁P₂+∠GP₂P₁=180°，
∴∠AP₁P₂+∠P₁P₂C=∠AP₁B+∠BP₁P₂+∠P₁P₂G+∠GP₂C=180°+∠A+∠C，
∴∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°；
如图3，∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°，理由是：
过P₂作GP₂∥CF，则∠GP₂C=∠C，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP₂，
∴∠AEF+∠GP₂E=180°，
∵∠AEF=∠A+∠AP₁P₂，
∴∠AEF+∠P₁P₂C=180°+∠GP₂C，
∴∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C=180°+∠C，
∴∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°；
如图4，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°，理由是
过P₁作P₁G∥CF，则∠GP₁F+∠CFP₁=180°，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP₁，
∴∠A=∠AP₁G，
∵∠EFC=∠C+∠P₁P₂C，
∴∠AP₁P₂+∠EFC=180°+∠AP₁G，
∴∠AP₁P₂+∠C+∠P₁P₂C=180°+∠A，
∴∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°．
故答案为：如图2，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°，如图3，∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°，如图4，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°．

点评 本题考查了平行线的性质，辅助线的作出是本题的关键，属于典型题，作辅助线构建同旁内角互补，再利用外角定理和平行线的性质得出角的关系，相加或等量代换即可．