Question

9．已知y=（k+2）${x}^{{k}^{2}+k-4}$+2x+3是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值和顶点坐标．
（2）若图象与x轴交点为A．B，与y轴交点为C，求△ABC面积．
（3）若以AB为直径的圆D与y轴相交于点E，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的定义得出k²+k-4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值，利用k的值得出二次函数的解析式，利用顶点式求出二次函数顶点坐标；
（2）求出（1）中抛物线与x轴、y轴的交点坐标，即可计算△ABC面积；
（3）根据A、B的坐标，可知圆心D的坐标，根据勾股定理求出OE的长，可确定点E的坐标．

解答 解：（1）∵y=（k+2）xk2+k-4+2x+3是二次函数，
∴k²+k-4=2，
k²+k-6=0，
∴（k+3）（k-2）=0，
∴k=-3或k=2，
∵函数图象有最高点，
∴k+2＜0，
当k=-3时，k+2=-1＜0，符合要求，
当k=2时，k+2=4＞0，不符合要求，舍去；
∴二次函数解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为：（1，4）；
（2）令y=0，则0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
当x=0时，y=3，
∴OC=3
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵A（-1，0），B（3，0）
∴D（1，0）
∵以AB为直径的圆D与y轴相交于点E，
∴OD=1，DE=2，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的定义、二次函数上点的坐标以及数形结合思想和分类讨论思想的运用，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解决问题的关键．