Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

(1)求OA、OC的长；

(2)求证：DF为的切线；

(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在矩形OABC中，设OC＝x，则OA＝x＋2，依题意得 　　x(x＋2)＝15　　解得x1＝3，x2＝－5 　　x2＝－5(不合题意，舍去)　　所以OC＝3，OA＝5 　　(2)如图，连结 　　在矩形OABC中，OC＝AB，∠OCB＝∠ABC＝，CE＝BE＝ 　　所以△OCE≌△ABE 　　所以EA＝EO　　所以∠1＝∠2 　　在中，因为＝　　所以∠1＝∠3 　　所以∠3＝∠2　　所以∥AE， 　　因为DF⊥AE　　所以DF⊥ 　　又因为点D在上，为的半径，所以DF为切线． 　　(3)不同意．理由如下： 　　①当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点，过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H＝OC＝3，因为AP1＝OA＝5 　　所以AH＝4，所以OH＝1 　　求得点P1(1，3)　　同理可得P4(9，3) 　　②当OA＝OP时，同上可求得P2(4，3)，P3(－4，3) 　　因此，在直线BC上，除了E点外，既存在内的点P1，又存在外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．