Question

2．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）求证：CD²=CE•CA；
（2）求证：∠CEF=∠B；
（3）猜想：线段OC，OF，OE，OD成比例吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一对直角相等及一对公共角相等，得到△CED与△DCA相似，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）同理得到△CDF与△CBD相似，由相似得比例列出关系式，等量代换即可得证；
（3）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：由∠CED=∠CFD=90°，得到C，E，D，F四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等得到两对角相等，确定出三角形OED与三角形OCF相似，由相似得比例即可得证．

解答 解：（1）∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CA}$，
即CD²=CE•CA，

（2）由（1）证得CD²=CE•CA，
同理CD²=CB•CF，
∴CA•CE=CB•CF，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CF}{CA}$，
∵∠ACB=∠FCE，
∴△CEF∽△BCA，
∴∠CEF=∠B；

（3）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△ODE∽△OCF，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OF}{OE}$，
∴线段OC、OD、OE、OF成比例．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．