Question

10．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，首先证得△ABD是等边三角形，得出∠DAB=60°，因为∠ABC=60°，根据平行线的判定即可证得；
（2）证得△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，根据等腰三角形三线合一的性质得出DF⊥AB，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AD=2AE．

解答 解：（1）∵AB=BD，∠ABD=α=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠ABC=60°，
∴AD∥BC；
（2）AD=2AE．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
在△ADF和△BDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{AF=BF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BDF（SSS），
∴∠ADF=∠BDF=30°，
∴DF⊥AB，
∴AD=2AE．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，30°所对的直角边等于斜边的一半的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．