Question

5．四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处．点A对应点为A′，且S_△A′ME：S_△CNB′=1：4，则AM的长是2．

Answer 1

分析 设AM=x，A′E=y，由折叠的性质得AM′=AM=x，∠NB′A′=∠B=90°，∠A′=∠A=90°，推出△A′EM∽△B′NC，求出△A′ME与△B′NC的相似比是$\frac{1}{2}$，于是得到CN=2x，B′C=2y，然后根据勾股定理列方程即可得到结果．

解答 解：设AM=x，A′E=y，
由折叠的性质得AM′=AM=x，∠NB′A′=∠B=90°，∠A′=∠A=90°，
∴∠A′=∠A′B′N=90°，
∵∠DEB′+∠DB′E=∠DEB′+∠DB′E+∠NB′C=90°，
∴∠DEB′=∠NB′C=∠A′EM，
∴△A′EM∽△B′NC，
∴$\frac{A′M}{CN}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△A′ME}}{{S}_{△B′NC}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴△A′ME与△B′NC的相似比是$\frac{1}{2}$，
∴CN=2x，B′C=2y，
∴B′N=9-2x，DB′=9-2y，B′E=9-y，
∴ME=$\frac{1}{2}$B′N=$\frac{9-2x}{2}$，
∴DE=9-x-$\frac{9-2x}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴B′E²=DE²+B′D²，
即：（9-y）²=（$\frac{9}{2}$）²+（9-2y）²，
解得：y=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{9}{2}$（舍去），
∴B′C=3，
∴B′C²+CN²=B′N²，
即3²+（2x）²=（9-2x）²，
解得：x=2，
∴AM=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了图形翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．