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如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
(1)说明AE=CD的理由;
(2)如果DE⊥BC,试判断直线BE与AC的位置关系,并说明理由.
分析:(1)根据△ABC和△BDE是等边三角形,依据等边三角形的每个角都是60°,即可证得∠ABC=∠EBD=60°,然后根据等式的性质即可证得∠ABE=∠CBD,利用SAS即可证得△ABE≌△CBD,然后依据全等三角形的对应边相等即可证得;
(2)延长BE交AC于点F,依据三线合一定理即可证得∠FAC=
1
2
∠EBD=
1
2
×60°=30°,然后根据等边△ABC中,∠ACB=60°,即可证得∠BFC=90°,则BE⊥AC.
解答:证明:(1)∵△ABC和△BDE是等边三角形,
∴∠ABC=∠EBD=60°,
∴∠ABE=∠CBD,
在△ABE和△CBD中,
AB=CB
∠ABE=∠CBD
BE=BD

∴△ABE≌△CBD,
∴AE=CD;

(2)延长BE交AC于点F.
∵DE⊥BC,△BDE是等边三角形,
∴∠FBC=
1
2
∠EBD=
1
2
×60°=30°,
又∵等边△ABC中,∠ACB=60°,
∴∠BFC=90°,
∴BE⊥AC.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,正确依据等边三角形的性质证得∠ABE=∠CBD是关键.
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