Question

正方形ABCD边长为2，M、N分别为BC、CD上的点，AM⊥MN，BM=x，求x为何值时，△ABM∽△AMN？

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：由相似三角形的对应边成比例，即可得当

AB

BM

=

AM

MN

时，△ABM∽△AMN，继而可求得答案．

解答：解：设BM=x，
∵正方形ABCD边长为2，
∴CM=BC-BM=2-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴

2

2-x

=

x

CN

，
∴CN=

x(2-x)

2

，
∴在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=4+x²，
在Rt△CMN中，MN²=CM²+CN²=（2-x）²+[

x(2-x)

2

]²=

(2-x)2(x2+4)

4

，
∵∠B=∠AMN=90°，
∴当

AB

BM

=

AM

MN

时，△ABM∽△AMN，
∴当

AB2

BM2

=

AM2

MN2

，即

4

x2

=

4+x2

(2-x)2(4+x2) 4

时，△ABM∽△AMN，
解得：x=1．
故当x=1时△ABM与△AMN相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．