Question

7．如图，矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AE平分∠BAD交于BC边上的中点E，连接OE．下列结论：①∠ACB=30°；②OE⊥BC；③OE=$\frac{1}{4}$BC；④S_△ACE=$\frac{1}{8}$S_?ABCD．其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OB=OC，由等腰三角形的性质得出BE=CE，OE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}$AB，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE=$\frac{1}{2}$BC，得出①不正确，②、③正确；由△ACE的面积=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，得出④不正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，OE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB≠30°，
∴①不正确，②、③正确；
∵△ACE的面积=$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{4}$BC•AB=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，
∴④不正确；正确的有2个，
故选：B．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．