Question

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．
（1）求证：DC=BD+AB；
（2）若设CD=a、BD=b、AB=c，试说明方程x²-ax+bc=0有两个不相等的实数根；
（3）若方程x²-ax+bc=0的一根是另一根的2倍，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）证明：在BC上取点E，使BD=DE，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠EAC
∴EC=EA=AB，
∴CD=DE+EC=BD+AB
（2）解：由（1）得：
∵a²-4bc=（b+c）²-4bc=（b-c）²
又c＞b，即c≠b，
∴（b-c）²＞0，
∴方程x²-ax+bc=0有两个不相等的实数根．
（3）解：设方程的两根为k，2k，
代入得k²-ak+bc=0①及4k²-2ak+bc=0②，
由②-4×①得k=，代入①得（）²-a•+bc=0，
化简得9bc=2a²，
又∵a²=（b+c）²
代入得2b²-5bc+2c²=0，（2b-c）（b-2c）=0，
∵b＜c，
∴c=2b
∵AD⊥BC，
∴∠B=60°，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
分析：（1）在BC上取点E，使BD=DE，推出AB=AE=EC，从而推出CD=BD+AB；
（2）计算出根的判别式，通过配方及（1）中结论，证出根的判别式大于0，从而判定方程有两个不相等的实数根；
（3）设方程的两根为k，2k，代入得k²-ak+bc=0①及4k²-2ak+bc=0②，求出c=2b，再根据∠B=60°，∠C=30°，∠BAC=90°，证出△ABC为直角三角形．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的判定与性质，作出辅助线AE=AB是解题的关键．