Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EAEC．

（1）求证：∠EBA＝∠C；

（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝ADAC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）欲证明∠EBA=∠C，只要证明△BAE∽△CEB即可；

（2）欲证明AB2=ADAC，只要证明△BAD∽△CAB即可．

（1）∵ED2=EAEC，∴．

∵∠BEA=∠CEB，∴△BAE∽△CBE，∴∠EBA=∠C．

（2）∵EF垂直平分线段BD，∴EB=ED，∴∠EDB=∠EBD，∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD．

∵∠EBA=∠C，∴∠DBC=∠ABD．

∵DB=DC，∴∠C=∠DBC，∴∠ABD=∠C．

∵∠BAD=∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴，∴AB2=ADAC．