Question

13．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C，连接BC，在抛物线上找点D，连接CD，若∠BCD=90°，求点D的坐标．

Answer 1

分析 先计算自变量为0时的函数值得到C点坐标，通过解方程$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=0得到B点坐标，再把CB绕点C顺时针旋转90°得到CB′，如图，则B′（$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$），利用待定系数法可求出直线CB′的解析式，然后解方程$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$可求出D点坐标．

解答 解：当x=0时，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，则C（0，-$\sqrt{3}$），
当y=0时，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=0，解得x₁=-1，x₂=2，则A（-1，0），B（2，0），
把CB绕点C顺时针旋转90°得到CB′，如图，则B′（$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$），
直线CB′交抛物线于点D，
设直线CB′的解析式为y=kx-$\sqrt{3}$，
把B′（$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$）代入得$\sqrt{3}$k-$\sqrt{3}$=-2-$\sqrt{3}$，解得k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以直线CB′的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
解方程$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，解得x₁=0，x₂=-$\frac{1}{3}$，
当x=-$\frac{1}{3}$时，y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
所以D点坐标为（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{7\sqrt{3}}{9}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是通过旋转确定B′坐标，从而得到直线CD的解析式．