【题目】已知二次函数(
为常数).
(1)求证:不论为何值,该二次函数的图像与
轴总有公共点.
(2)求证:不论为何值,该二次函数的图像的顶点都在函数
的图像上.
(3)已知点、
,线段
与函数
的图像有公共点,则
的取值范围是__________.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)计算判别式的值得到△≥0,从而根据判别式的意义得到结论;
(2)利用配方法得到二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶点坐标为(m,-(m-1)2),然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断;
(3)先计算出抛物线y=-(x-1)2与直线y=-1的交点的横坐标,然后结合图象得到a+2≥0且a≤2.
(1)令,则
.
∵,
,
,
∴.
∵,
∴.
∴一元二次方程有实数根.
故不论取何值,函数
与
轴总有公共点.
(2)∵.
∴该函数的顶点坐标为.
把代入
,得
.
∴不论为何值,该二次函数的顶点坐标都在函数
上.
(3)当y=-1时,y=-(x-1)2=-1,解得x1=0,x2=2,
当a+2≥0且a≤2时,线段AB与函数y=-(x-1)2的图象有公共点,
所以a的范围为-2≤a≤2.
故答案为.
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【题目】在图(1)中,在中,
,垂足为点
,点
从点
出发,以
的速度沿射线
运动,当点
与点
重合时,运动停止.过点
作
,垂足为点
,将线段
绕点
顺时针旋转
,点
在射线
上的对应点为点
,连接
.若
与
的重叠部分面积为
,点
的运动时间为
,
关于
的函数图象如图(2)所示(其中
,
,
时,函数解析式不同).
(1)求的长;
(2)求关于
的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
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【题目】综合与探究
如图,已知抛物线y=ax2﹣3x+c与y轴交于点A(0,﹣4),与x轴交于点B(4,0),点P是线段AB下方抛物线上的一个动点.
(1)求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标;
(2)当点P移动到抛物线的什么位置时,∠PAB=90°求出此时点P的坐标;
(3)当点P从点A出发,沿线段AB下方的抛物线向终点B移动,在移动中,设点P的横坐标为t,△PAB的面积为S,求S关于t的函数表达式,并求t为何值时S有最大值,最大值是多少?
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【题目】在四边形 ABCD 中,E 为 BC 边中点.
(Ⅰ)已知:如图,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,点 F 为 AD 上一点,AF=AB.求证:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如图,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,点 F,G 均为 AD上的点,AF=AB,GD=CD.求证:(1)△GEF 为等边三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
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【题目】横、纵坐标均为整数的点称为格点,如图,的三个顶点
,
,
均为格点,
上的点
也为格点,用无刻度的直尺作图:
(1)将线段绕点
顺时针旋转90°,得到线段
,写出格点
的坐标;
(2)将线段平移至线段
,使点
与点
重合,直接写出格点
的坐标;
(3)画出线段关于
对称的线段
,保留作图痕迹.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x。
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,试求x的值;
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【题目】如图,在△ABC的边AB,AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE,连接DC,BE.
(1)求证:DC=BE;
(2)若BD=3,BC=4, BD⊥BC于点B,请求出△ABC的面积.
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【题目】小明研究了这样一道几何题:如图1,在中,把
绕点
顺时针旋转
得到
,把
绕点
逆时针旋转
得到
,连接
.当
时,请问
边
上的中线
与
的数量关系是什么?以下是他的研究过程:
特例验证:(1)①如图2,当为等边三角形时,猜想
与
的数量关系为
_______
;②如图3,当
,
时,则
长为________.
猜想论证:(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想
与
的数量关系,并给予证明.
拓展应用:(3)如图4,在四边形,
,
,
,
,
,在四边形内部是否存在点
,使
与
之间满足小明探究的问题中的边角关系?若存在,请画出点
的位置(保留作图痕迹,不需要说明)并直接写出
的边
上的中线
的长度;若不存在,说明理由.
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