Question

如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，延长BO交⊙O于点A，点D为⊙O上一点，过点A作直线BD的垂线，垂足为C，AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，由OA=OD得∠1=∠2，由AD平分∠BAC得∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OD∥AC，根据平行线的性质得OD⊥BD，则根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）利用OD∥AC得到△BOD∽△BAC，然后利用相似比可计算出AC．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
而AC⊥BD，
∴OD⊥BD，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

BO

BA

=

OD

AC

，即

6

6+4

=

4

AC

，
∴AC=

20

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．