Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知D （-5，4），B（-3，O），过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，PC∥DB：
（2）当t=$\frac{16}{3}$秒时，PC⊥BC；
（3）以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O，当⊙O与ABCD的边所在的直线相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；
（2）证△PCO∽△CBO，得出$\frac{4}{3}$=$\frac{PO}{4}$，求出OP=$\frac{16}{3}$即可；
（3）设⊙O的半径是R，分为三种情况：
①当⊙O与直线DC相切时，根据CD⊥OC，D（-5，4）可知OP=OC，故可得出t的值；
②当⊙O与BC相切时，过点O作OE⊥BC于点E，根据三角形的面积公式求出OE的长即可得出t的值；
③当⊙O与DB相切时，过点O作OE⊥DB的延长线于点E，利用待定系数法求出直线BD的解析式，根据两直线垂直的性质可得出直线OE的解析式，进而得出E点坐标，根据两点间的距离公式求出OE的长，进而可得出t的值．

解答 解：（1）∵D（-5，4），B（-3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，
∴DC=5，OC=4，OB=3，
∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴DC∥BP，
∵PC∥DB，
∴四边形DBPC是平行四边形，
∴DC=BP=5，
∴OP=5-3=2，2÷1=2，
即当t=2秒时，PC∥BD．
故答案为：2秒；

（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，
∴∠COP=∠COB=∠BCP=90，
∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，
∴∠CPO=∠BCO，
∴△PCO∽△CBO，
∴$\frac{OC}{BO}$=$\frac{OP}{CO}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{PO}{4}$，
∴OP=$\frac{16}{3}$，
$\frac{16}{3}$÷1=$\frac{16}{3}$，
即当t=$\frac{16}{3}$秒时，PC⊥BC．
故答案为：$\frac{16}{3}$秒；

（3）分为三种情况：
①当⊙O与直线DC相切时，
∵CD⊥OC，D（-5，4），
∴OP=OC=4，
∴t=4秒；
②当⊙O与BC相切时，如图1，过点O作OE⊥BC于点E，
∵D （-5，4），B（-3，O），CD⊥OC，
∴OC=4，OB=3，
∴BC=$\sqrt{{OC}^{2}+{OB}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴OE=$\frac{OC•OB}{BC}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴t=$\frac{12}{5}$秒；
③当⊙O与DB相切时，如图2，过点O作OE⊥DB的延长线于点E，
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵D（-5，4），B（-3，O），
∴$\left\{\begin{array}{l}-5k+b=4\\-3k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=-6\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-2x-6．
∵BD⊥OE，
∴直线OE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-6\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{12}{5}\\ y=-\frac{6}{5}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∴OE=$\sqrt{（-\frac{12}{5}）^{2}+（-\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$秒．
综上所述，当⊙O与△BCD的边所在的直线相切时，t=4秒或$\frac{12}{5}$秒或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$秒．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力，难度适中．