Question

17．如图1，对称轴为直线x=$\frac{7}{2}$的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一交点C的坐标；
（2）D为坐标平面上一点，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标；
（3）如图2，点E（x，y）是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
①当?OEAF的面积为24时，请判断?OEAF是矩形吗？是菱形吗？
②是否存在点E，使?OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的对称性确定C（1，0），然后利用交点式求出抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4；
（2）分类讨论，根据平行四边形的性质利用平移确定D点坐标；
（3）如图2，连结EF，①根据二次函数图象上点的坐标特征，设点E（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4），利用?OEAF的面积为24和三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×6×[-（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4）]=12，解得x₁=3，x₂=4，则E（3，-4）或（4，-4），
分类讨论：当E点坐标为（3，-4）时，易得F（3，4），于是得到EF≠OA，OE与OA互相垂直平分，根据特殊平行四边形的判定方法得到平行四边形OEAF不是矩形，而是菱形；
当E点坐标为（4，-4）时，易得F（2，4），于是有EF≠OA，OE与OA不垂直，则可判断平行四边形OEAF不是矩形，也不是菱形；
②根据正方形的判定方法，当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，-3），由于坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，所以不存在这样的点E使平行四边形OEAF为正方形．

解答 解：（1）∵对称轴为直线x=$\frac{7}{2}$的抛物线经过点A（6，0），
∴抛物线过点C（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-6），
把B（0，4）代入得6a=4，解得a=$\frac{2}{3}$．
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$（x-1）（x-6）=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4，
（2）如图1，AC=6-1=5，
当以AB为对角线时，D₁（5，4）；
当以BC为对角线时，D₂（-5，4）；
当以AC为对角线时，由于B（0，4）点向下平移4个单位，向右平移1个得到C（1，0），则A（6，0）点向下平移4个单位，向右平移1个得到得到D₃（7，-4），
即点D的坐标为（5，4）或（-5，4）或（7，-4）；
（3）如图2，连接EF，
①点E（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4），
∵?OEAF的面积为24，
∴S_△AOE=12，
∴$\frac{1}{2}$×6×[-（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4）]=12，解得x₁=3，x₂=4，
∴E（3，-4）或（4，-4），
当E（3，-4）时，则F（3，4），则EF≠OA，OE与OA互相垂直平分，所以平行四边形OEAF不是矩形，而是菱形；
当E（4，-4）时，则F（2，4），则EF≠OA，OE与OA不垂直，所以平行四边形OEAF不是矩形，也不是菱形；
②不存在．理由如下：
当OA⊥EF，且OA=EF时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，-3），而坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E使□OEAF为正方形． （9分）

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形与特殊平行四边形的判定方法判定方法；会利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；理解坐标与图形性质．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．