Question

9．如图，⊙O的直径AD=8，AB、CD是⊙O的两条切线，AB=3，CD=$\frac{16}{3}$
（1）求证：△ABO∽△DOC；
（2）求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据AD，BC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAD=∠OBC=90°，进而求得$\frac{AB}{OA}$=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，然后根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（2）过O作OE⊥BC，交BC于点E，根据（1）中两相似三角形，利用相似三角形的对应角相等得到∠ABO=∠COD，进而求得∠BOC=90°，然后根据∠OBE=∠CBO，∠OEB=∠BOC=90°，得到△BOE∽△BCO，由相似三角形的对应边成比例得到OE=4=OA，即可确定出BC为圆O的切线．

解答 （1）证明：∵AD、BC是⊙O的两条切线，
∴∠OAD=∠OBC=90°，
∵AB=3，CD=$\frac{16}{3}$，AD=8，
∴OA=OD=4，
∴$\frac{AB}{OA}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{OA}$=$\frac{OD}{CD}$，
∴△ABO∽△DOC；

（3）证明：过O作OE⊥BC，交BC于点E，
∵△ABO∽△DOC，
∴∠ABO=∠COD，
∵∠ABO+∠AOB=90°，
∴∠AOB+∠COD=90°，
∵∠BOC=90°，
∵∠OBE=∠CBO，∠OEB=∠BOC=90°，
∴△BOE∽△BCO，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OB}{BC}$，
由∵OB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OC=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{20}{3}）^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
∴$\frac{OE}{\frac{20}{3}}$=$\frac{5}{\frac{25}{3}}$，
∴OE=4=OA，
∴BC是⊙O切线．

点评 此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．