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【题目】已知在四边形ABCD中,∠A=x,∠C=y,(x180°y180°).

1)∠ABC+ADC=_____(用含xy的代数式表示);

2)如图1,若x=y=90°DE平分∠ADCBF平分与∠ABC相邻的外角,请写出DEBF的位置关系,并说明理由.

3)如图2,∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角,

①当xy时,若x+y=140°,∠DFB=30°试求xy

②小明在作图时,发现∠DFB不一定存在,请直接指出xy满足什么条件时,∠DFB不存在.

【答案】1360°-x-y;(2DEBF,理由见解析;(3)①;②当xy满足x=y时,∠DFB不存在.

【解析】

1)利用四边形内角和定理得出答案即可;(2)利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可;(3)①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理,得出∠DFB=y-x=30°,进而得出xy的值;②当x=y时,∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行,此时∠DFB不存在.

1)∵四边形内角和为(4-2×180°=360°

∴∠ABC+ADC=360°-x-y

故答案为:360°-x-y

(2)DEBF,理由如下:

如图:延长DEBFG

DE平分∠ADCBF平分∠MBC

∴∠CDE=ADC,∠CBF=CBM

x=y=90°

∴∠CBM=180°-∠ABC=180°(180°-∠ADC)=ADC

∴∠CDE=CBF

∵∠BED=CDE+C=CBF+BGE

∴∠BGE=C=90°

DGBF,即DEBF

(3)①如图,连接DB

∵∠A+ADC+C+ABC=360°,∠CDN=180°-ADC,∠CBM=180°-ABC

∴∠CDN+CBM=A+C=x+y

BFDF分别平分∠CBM、∠CDN

∴∠CDF+CBF=(x+y)

∴∠FBD+FDB=180°-y+(x+y)=180°-y+x

∴∠DFB=180°-(FBD+FDB)=y-x=30°

解方程组:

解得:

x=40°,y=100°.

②当x=y时,此时∠DFB=0,即∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行,故当xy满足x=y时,∠DFB不存在.

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A.
B.
C.
D.

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